author divverent Sun, 22 Mar 2009 19:51:44 +0000 (19:51 +0000) committer divverent Sun, 22 Mar 2009 19:51:44 +0000 (19:51 +0000)
The code is mathematically correct now, I added a proof of the missing link:
quadratic spline area = exactly 2/3 * area of the control points triangle!

The actual subdivisions stayed invariant, just the names of the functions make
more sense now.

git-svn-id: svn://svn.icculus.org/twilight/trunk/darkplaces@8821 d7cf8633-e32d-0410-b094-e92efae38249

 curves.c patch | blob | history

index ea18cf4..ad5bb63 100644 (file)
--- a/curves.c
+++ b/curves.c
@@ -156,7 +156,7 @@ static int Q3PatchTesselation(float largestsquared2xcurvearea, float tolerance)
// maps [4..8[ to 4
}

-float Squared2xCurveArea(const float *a, const float *control, const float *b, int components)
+float Squared3xCurveArea(const float *a, const float *control, const float *b, int components)
{
#if 0
// mimicing the old behaviour with the new code...
@@ -178,6 +178,13 @@ float Squared2xCurveArea(const float *a, const float *control, const float *b, i
// but as this is hard to calculate, let's calculate an upper bound of it:
// the area of the triangle a->control->b->a.
//
+       // one can prove that the area of a quadratic spline = 2/3 * the area of
+       // the triangle of its control points!
+       // to do it, first prove it for the spline through (0,0), (1,1), (2,0)
+       // (which is a parabola) and then note that moving the control point
+       // left/right is just shearing and keeps the area of both the spline and
+       // the triangle invariant.
+       //
// why are we going for the spline area anyway?
// we know that:
//
@@ -186,6 +193,8 @@ float Squared2xCurveArea(const float *a, const float *control, const float *b, i
//
//   also, on circle-like or parabola-like curves, you easily get that the
//   double amount of line approximation segments reduces the error to its quarter
+       //   (also, easy to prove for splines by doing it for one specific one, and using
+       //   affine transforms to get all other splines)
//
// so...
//
@@ -214,7 +223,8 @@ float Squared2xCurveArea(const float *a, const float *control, const float *b, i
bb += xb * xb;
}
// area is 0.5 * sqrt(aa*bb - ab*ab)
-       // 2x area is sqrt(aa*bb - ab*ab)
+       // 2x TRIANGLE area is sqrt(aa*bb - ab*ab)
+       // 3x CURVE area is sqrt(aa*bb - ab*ab)
return aa * bb - ab * ab;
#endif
}
@@ -231,7 +241,7 @@ int Q3PatchTesselationOnX(int patchwidth, int patchheight, int components, const
for (x = 0;x < patchwidth-1;x += 2)
{
patch = in + ((y * patchwidth) + x) * components;
-                       squared2xcurvearea = Squared2xCurveArea(&patch, &patch[components], &patch[2*components], components);
+                       squared2xcurvearea = Squared3xCurveArea(&patch, &patch[components], &patch[2*components], components);
if (largestsquared2xcurvearea < squared2xcurvearea)
largestsquared2xcurvearea = squared2xcurvearea;
}
@@ -251,7 +261,7 @@ int Q3PatchTesselationOnY(int patchwidth, int patchheight, int components, const
for (x = 0;x < patchwidth;x++)
{
patch = in + ((y * patchwidth) + x) * components;
-                       squared2xcurvearea = Squared2xCurveArea(&patch, &patch[patchwidth*components], &patch[2*patchwidth*components], components);
+                       squared2xcurvearea = Squared3xCurveArea(&patch, &patch[patchwidth*components], &patch[2*patchwidth*components], components);
if (largestsquared2xcurvearea < squared2xcurvearea)
largestsquared2xcurvearea = squared2xcurvearea;
}